等比数列求和知识点

　　等比数列求和知识点

　　一.等比数列求和的教学基础

　　1.知识结构

　　先用错位相减法推出等比数列前项和公式，而后运用公式解决一些问题，并将通项公式与前项和公式结合解决问题，还要用错位相减法求一些数列的前n项.

　　2.重点、难点分析

　　教学重点、难点是等比数列前 项和公式的推导与应用.公式的推导中蕴含了丰富的数学思想、方法(如分类讨论思想，错位相减法等)，这些思想方法在其他数列求和问题中多有涉及，所以对等比数列前n项和公式的要求，不单是要记住公式，更重要的是掌握推导公式的方法.等比数列前n项和公式是分情况讨论的，在运用中要特别注意 q=1和q=\1两种情况.

　　3.学习建议

　　①本节内容分为两课时，一节为等比数列前 项和公式的推导与应用，一节为通项公式与前 项和公式的综合运用，另外应补充一节数列求和问题.

　　②等比数列前n项和公式的推导是重点内容，引导学生观察实例，发现规律，归纳总结，证明结论

　　③等比数列前n项和公式的推导的其他方法可以给出，提高学生学习的兴趣

　　④编拟例题时要全面，不要忽略 的情况.

　　⑤通项公式与前n项和公式的综合运用涉及五个量，已知其中三个量可求另两个量，但解指数方程难度大

　　⑥补充可以化为等差数列、等比数列的数列求和问题.

　　二、等比数列求和公式

　　一个数列，如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数，且数列中任何项都不为0，

　　即：A(n+1)/A(n)=q (n∈N*)， 这个数列叫等比数列，其中常数q 叫作公比。

　　如： 2、4、8、16......2^10 就是一个等比数列，其公比为2， 可写为 an=2×2^(n-1) 通项公式 an=a1×q^(n-1);

　　1.通项公式与推广式

　　推广式：an=am×q^(n-m) [^的意思为q的(n-m)次方];

　　2.求和公式

　　Sn=n×a1 (q=1) Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1) S∞=a1/(1-q) (n-> ∞)(|q|<1) (q为公比，n为项数)

　　3.等比数列求和公式推导

　　①Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)

　　②q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q =a2+a3+a4+...+a(n+1)

　　③Sn-q*Sn=a1-a(n+1)

　　④(1-q)Sn=a1-a1*q^n

　　⑤Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

　　⑥Sn=(a1-an*q)/(1-q)

　　⑦Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

　　4性质 简介

　　①若 m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，则am×an=ap×aq;

　　②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列; 等比数列的性质

　　③若m、n、q∈N，且m+n=2q，则am×an=(aq)^2;

　　④ 若G是a、b的等比中项，则G^2=ab(G ≠ 0);

　　⑤在等比数列中，首项a1与公比q都不为零

　　三.学习等比数列的方法

　　1知识与技能目标

　　理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题.

　　2.过程与方法目标

　　通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质.

　　3.情感、态度与价值目标

　　通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.

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　　4..教学重点、难点

　　①重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用. 突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即一是知识技能线：问题情境→公 式推导→公式运用;二是过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想;三是能力线：观察能力→初步解决问题能力

　　.②难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用. 突破难点的手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生大胆猜想、积极探索，并及时给予肯定;二抓知识的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导.