小学数学应用题分类解题大全

　　小学数学应用题分类解题大全

　　求平均数应用题是在“把一个数平均分成几份，求一份是多少”的简单应用题的基础上发展而成的。它的特征是已知几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等。最后所求的相等数，就叫做这几个数的平均数。

　　解答这类问题的关键，在于确定“总数量”和与总数量相对应的“总份数”。

　　计算方法：

　　总数量÷总份数=平均数

　　平均数×总份数=总数量

　　总数量÷平均数=总份数

　　例1：东方小学六年级同学分两个组修补图书。第一组28人，平均每人修补图书15本;第二组22人，一共修补图书280本。全班平均每人修补图书多少本?

　　要求全班平均每人修补图书多少本，需要知道全班修补图书的总本数和全班的总人数。

　　(15×28+280)÷(28+22)=14本

　　例2：有水果糖5千克，每千克2.4元;奶糖4千克，每千克3.2元;软糖11千克，每千克4.2元。将这些糖混合成什锦糖。这种糖每千克多少元?

　　要求什锦糖每千克多少元，要先出这几种糖的总价和总重量最后求得平均数，即每千克什锦糖的价钱。

　　(2.4×5+3.2×4+4.2×11)÷(5+4+11)=3.55元

　　例3、要挖一条长1455米的水渠，已经挖了3天，平均每天挖285米，余下的每天挖300米。这条水渠平均每天挖多少米?

　　已知水渠的总长度，平均每天挖多少米，就要先求出一共挖了多少天。

　　1455÷(3+(1455-285×3)÷300)=291米

　　例4、小华的期中考试成绩在外语成绩宣布前，他四门功课的平均分是90分。外语成绩宣布后，他的平均分数下降了2分。小华外语成绩是多少分?

　　解法一：先求出四门功课的总分，再求出一门功课的的总分，然后求得外语成绩。

　　(90–2)×5–90×4=80分

　　例5、甲乙丙三人在银行存款，丙的存款是甲乙两人存款的平均数的1.5倍，甲乙两人存款的和是2400元。甲乙丙三人平均每人存款多少元?

　　要求甲乙丙三人平均每人存款多少元，先要求得三人存款的总数。

　　(2400÷2×1.5+2400)÷3=1400元

　　例6、甲种酒每千克30元，乙种酒每千克24元。现在把甲种酒13千克与乙种酒8千克混合卖出，当剩余1千克时正好获得成本，每千克混合酒售价多少元?

　　要求每千克混合酒售价多少元，要先求得两种酒的总价钱和两种酒的总千克数。因为当剩余1千克时正好获得成本，所以在总千克数中要减去1千克。

　　(30×13+24×8)÷(13+8–1)=29.1元

　　例7、甲乙丙三人各拿出相等的钱去买同样的图书。分配时，甲要22本，乙要23本，丙要30本。因此，丙还给甲13.5元，丙还要还给乙多少元?

　　先求买来图书如果平均分，每人应得多少本，甲少得了多少本，从而求得每本图书多少元。

　　1. 平均分，每人应得多少本

　　(22+23+30)÷3=25本

　　2. 甲少得了多少本

　　25–22=3本

　　3. 乙少得了多少本

　　25–23=2本

　　4. 每本图书多少元

　　13.5÷3=4.5元

　　5. 丙应还给乙多少元

　　4.5×2=9元

　　13.5÷[(22+23+30)÷3–22]×[(22+23+30)÷3–23]=9元

　　例8、小荣家住山南，小方家住山北。山南的山路长269米，山北的路长370米。小荣从家里出发去小方家，上坡时每分钟走16米，下坡时每分钟走24米。求小荣往返一次的平均速度。

　　在同样的路程中，由于是下坡的不同，去时的上坡，返回时变成了下坡;去时的下坡，回来时成了上坡，因此，所用的时间也不同。要求往返一次的平均速度，需要先求得往返的总路程和总时间。

[Ok3w_NextPage]

　　1、往返的总路程

　　(260+370)×2=1260米

　　2、往返的总时间

　　(260+370) ÷16+(260+370)÷24=65.625分

　　3、往返平均速度

　　1260÷65.625=19.2米

　　(260+370)×2÷[(260+370) ÷16+(260+370)÷24]=19.2米

　　例9、草帽厂有两个草帽生产车间，上个月两个车间平均每人生产草帽185顶。已知第一车间有25人，平均每人生产203顶;第二车间平均每人生产草帽170顶，第二车间有多少人?

　　解法一：

　　可以用“移多补少获得平均数”的思路来思考。

　　第一车间平均每人生产数比两个车间平均每人平均数多几顶?203–185=18顶;第一车间有25人，共比按两车间平均生产数计算多多少顶?18×25=450。将这450顶补给第二车间，使得第二车间平均每人生产数达到两个车间的总平均数。

　　6. 第一车间平均每人生产数比两个车间平均顶数多几顶?

　　203–185=18顶

　　7. 第一车间共比按两车间平均数逆运算，多生产多少顶?

　　18×25=450顶

　　8. 第二车间平均每人生产数比两个车间平均顶数少几顶?

　　185–170=15顶

　　9. 第二车间有多少人、

　　450÷15=30人

　　(203–185) ×25÷(185–170) =30人

　　例10、一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行45千米，返回时每小时行60千米。往返一次共用了3.5小时。求往返的平均速度。(得数保留一位小数)

　　解法一：

　　要求往返的平均速度，要先求得往返的距离和往返的时间。

　　去时每小时行45千米，1千米要 小时;返回时每小时行60千米，1千米要 小时。往返1千米要( + )小时，进而求得甲乙两地的距离。

　　1、 甲乙两地的距离

　　3.5÷( + )=90千米

　　2、 往返平均速度

　　90×2÷3.5≈52.4千米

　　3.5÷( + )×2÷3.5≈52.4千米

　　解法二：

　　把甲乙两地的距离看作“1”。往返距离为2个“1”，即1×2=2。去时每千米需 小时，返回时需 小时，最后求得往返的平均速度。

　　1÷( + )≈51.4千米

　　在解答某一类应用题时，先求出一份是多少(归一)，然后再用这个单一量和题中的有关条件求出问题，这类应用题叫做归一应用题。

　　归一，指的是解题思路。

　　归一应用题的特点是先求出一份是多少。归一应用题有正归一应用题和反归一应用题。在求出一份是多少的基础上，再求出几份是多产，这类应用题叫做正归一应用题;在求出一份是多少的基础上，再求出有这样的几份，这类应用题叫做反归一应用题。

　　根据“求一份是多少”的步骤的多少，归一应用题也可分为一次归一应用题，用一步就能求出“一份是多少”的归一应用题;两次归一应用题，用两步到处才能求出“一份是多少”的归一应用题。

　　解答这类应用题的关键是求出一份的数量，它的计算方法：

　　总数÷份数=一份的数

　　例1、 24辆卡车一次能运货物192吨，现在增加同样的卡车6辆，一次能运货物多少吨?

　　先求1辆卡车一次能运货物多少吨，再求增加6辆后，能运货物多少吨。

　　这是一道正归一应用题。192÷24×(24+6)=240吨

　　例2、 张师傅计划加工552个零件。前5天加工零件345个，照这样计算，这批零件还要几天加工完?

　　这是一道反归一应用题。

　　例3、 3台磨粉机4小时可以加工小麦2184千克。照这样计算，5台磨粉机6小时可加工小麦多少千克?

　　这是一道两次正归一应用题。

　　例4、 一个机械厂和4台机床4.5小时可以生产零件720个。照这样计算，再增加4台同样的机床生产1600个零件，需要多少小时?

[Ok3w_NextPage]

　　这是两次反归一应用题。要先求一台机床一小时可以生产零件多少个，再求需要多少小时。

　　1600÷[720÷4÷4.5×(4+4)]=5小时

　　例5、 一个修路队计划修路126米，原计划安排7个工人6天修完。后来又增加了54米的任务，并要求在6天完工。如果每个工人每天工作量一定，需要增加多少工人才如期完工?

　　先求每人每天的工作量，再求现在要修路多少米，然后求要5天完工需要工人多少人，最后求要增加多少人。

　　(126+54)÷(126÷7÷6×5)–7=5人

　　例6、 用两台水泵抽水。先用小水泵抽6小时，后用大水泵抽8小时，共抽水624立方米。已知小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量。求大小水泵每小时各抽水多少立方米?

　　解法一：

　　根据“小水泵5小时的抽水量等于大水泵2小时的抽水量”，可以求出大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量。把不同的工作效率转化成某一种水泵的工作效率。

　　1、 大水泵1小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量?

　　5÷2=2.5小时

　　2、 大水泵8小时的抽水量相当于小水泵几小时的抽水量

　　2.5×8=20小时

　　3、 小水泵1小时能抽水多少立方米?

　　642÷(6+20)=24立方米

　　4、 大水泵1小时能抽水多少立方米?

　　24×2.5=60立方米

　　解法二：

　　1、 小水泵1小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量

　　2÷5=0.4小时

　　2、 小水泵6小时的抽水量相当于大水泵几小时的抽水量

　　0.4×6=2.4小时

　　3、 大水泵1小时能抽水多少立方米?

　　624÷(8+2.4)=60立方米

　　4、 小水泵1小时能抽水多少立方米?

　　60×0.4=24立方米

　　例7、 东方小学买了一批粉笔，原计划29个班可用40天，实际用了10天后，有10个班外出，剩下的粉笔，够有校的班级用多少天?

　　先求这批粉笔够一个班用多少天，剩下的粉笔够一个班用多少天，然后求够在校班用多少天。

　　1、 这批粉笔够一个班用多少天

　　40×20=800天

　　2、 剩下的粉笔够一个班用多少天

　　800–10×20=600天

　　3、 剩下几个班

　　20–10=10个

　　4、 剩下的粉笔够10个班用多少天

　　600÷10=60天

　　(40×20–10×20) ÷(20–10) =60天

　　例8、 甲乙两个工人加工一批零件，甲4.5小时可加工18个，乙1.6小时可加工8个，两个人同时工作了27小时，只完成任务的一半，这批零件有多少个?

　　先分别求甲乙各加工一个零件所需的时间，再求出工作了27小时，甲乙两工人各加工了零件多少个，然后求出一半任务的零件个数，最后求出这批零件的个数。

　　[27÷(4.5÷18)+27÷(1.6÷8)]×2=486个

　　在解答某一类应用题时，先求出总数是多少(归总)，然后再用这个总数和题中的有关条件求出问题。这类应用题叫做归总应用题。

　　归总，指的是解题思路。

　　归总应用题的特点是先总数，再根据应用题的要求，求出每份是多少，或有这样的几份。

　　例1、 一个工程队修一条公路，原计划每天修450米。80天完成。现在要求提前20天完成，平均每天应修多少米?

　　450×80÷(80–20)=600米

　　例2、 家具厂生产一批小农具，原计划每天生产120件，28天完成任务;实际每天多生产了20件，可以几天完成任务?

　　要求可以提前几天，先要求出实际生产了多少天。要求实际生产了多少天，要先求这批小农具一共有多少件。

　　28–120×28÷(120+20)=4天

　　例3、 装运一批粮食，原计划用每辆装24袋的汽车9辆，15次可以运完;现在改用每辆可装30袋的汽车6辆来运，几次可以运完?

[Ok3w_NextPage]

　　24×9×15÷30÷6=18次

　　例4、 修整一条水渠，原计划由8人修，每天工作7.5小时，6天完成任务，由于急需灌水，增加了2人，要求4天完成，每天要工作几小时?

　　一个工人一小时的工作量，叫做一个“工时”。

　　要求每天要工作几小时，先要求修整条水渠的工时总量。

　　1、 修整条水渠的总工时是多少?

　　7.5×8×6=360工时

　　2、 参加修整条水渠的有多少人

　　8+2=10人

　　3、 要求 4天完成 ，每天要工作几小时

　　4、 360÷4÷10=9小时

　　7.5×8×6÷4÷(8+2) =9小时

　　例5、 一项工程，预计30人15天可以完成任务。后来工作的天后，又增加3人。每人工作效率相同，这样可以提前几天完成任务?

　　一个工人工作一天，叫做一个“工作日”。

　　要求可以提前几天完成，先要求得这项工程的总工作量，即总工作日。

　　1、 这项工程的总工作量是多少?

　　15×30=450工作日

　　2、 4天完成了多少个工作日?

　　4×30=120工作日

　　3、 剩下多少个工作日?

　　450–120=330工作日

　　4、 剩下的要工作多少天?

　　330÷(30+3)=10天

　　5、 可以提前几天完成?

　　15–(4+10)=1天

　　15–[(15×30–4×30) ÷(30+3)+4]=1天

　　例6、 一个农场计划28天完成收割任务，由于每天多收割7公顷，结果18天就完成 了任务。实际每天收割多少公顷?

　　要求实际每天收割多少公顷，要先求原计划每天收割多少公顷。要求原计划每天收割多少公顷，要先求18天多收割了多少公顷。18天多收割的就是原计划(28–18)天的收割任务。

　　1、 18天多收割了多少公顷

　　7×18=126公顷

　　2、 原计划每天收割多少公顷

　　126÷(28–18)=12.6公顷

　　3、 实际每天收割多少公顷

　　12.6+7=19.6公顷

　　7×18÷(28–18) +7=19.6公顷

　　例7、 休养准备了120人30天的粮食。5天后又新来30人。余下的粮食还够用多少天?

　　先要求出准备的粮食1人能吃多少天，再求5天后还余下多少粮食，最后求还够用多少天。

　　1、 准备的粮食1人能吃多少天

　　300×120=3600天

　　2、 5天后还余下的粮食够1人吃多少天

　　3600–5×120=3000天

　　3、 现在有多少人

　　120+30=150人

　　4、 还够用多少天

　　3000÷150=20天

　　(300×120–5×120) ÷(120+30) =20天

　　例8、 一项工程原计划8个人，每天工作6小时，10天可以完成。现在为了加快工程进度，增加22人，每天工作时间增加2小时，这样，可以提前几天完成这项工程?

　　要求可以几天完成，要先求现在完成这项工程多少天。要求现在完成这项工程多少天，要先求这项工程的总工时数是多少。

　　10–6×10×8÷(8+22)÷(6+2)=8天

　　已知两个数以及它们之间的倍数关系，要求这两个数各是多少的应用题，叫做和倍应用题。

　　解答方法是：

　　和÷(倍数+1)=1份的数

　　1份的数×倍数=几倍的数

　　例1、 有甲乙两个仓库，共存放大米360吨，甲仓库的大米数是乙仓库的3倍。甲乙两个仓库各存放大米多少吨?

　　例2、 一个畜牧场有绵羊和山羊共148只，绵羊的只数比山羊只数的2倍多4只。两种羊各有多少只?

　　山羊的只数：(148-4)÷(2+1)=48只

　　绵羊的只数：48×2+4=100只

　　例3、 一个饲养场养鸡和鸭共3559只，如果鸡减少60只，鸭增加100只，那么，鸡的只数比鸭的只数的2倍少1只。原来鸡和鸭各有多少只?

[Ok3w_NextPage]

　　鸡减少60只，鸭增加00只后，鸡和鸭的总数是3559-60+100=3599只，从而可求出现在鸭的只数，原来鸭的只数。

　　1、 现在鸡和鸭的总只数

　　3559-60+100=3599只

　　2、 现在鸭的只数

　　(3599-1)÷(2+1)=1200只

　　3、 原来鸭的只数

　　1200-100=1100只

　　4、 原来鸡的只数

　　3599-1100=2459只

　　例4、 甲乙丙三人共同生产零件1156个，甲生产的零件个数比乙生产的2倍还多15个;乙生产的零件个数比丙生产的2倍还多21个。甲乙丙三人各生产零件多少个?

　　以丙生产的零件个数为标准(1份的数)，乙生产的零件个数=丙生产的2倍-21个;甲生产的零件个数=丙的(2×2)倍+(21×2+15)个。

　　丙生产零件多少个?

　　(1156-21-21×2-15)÷(1+2+2×2)=154个

　　乙：

　　154×2+21=329个

　　甲：

　　329×2+15=673个

　　例5、 甲瓶有酒精470毫升，乙瓶有酒精100毫升。甲瓶酒精倒入乙瓶多少毫升，才能使甲瓶酒精是乙瓶的2倍?

　　要使甲瓶酒精是乙瓶的2倍，乙瓶 是1份，甲瓶是2份，要先求出一份是多少，再求还要倒入多少毫升。

　　1、 一份是多少

　　(470+100)÷(2+1)=190毫升

　　2、 还要倒入多少毫升

　　190-100=90毫升

　　例6、 甲乙两个数的和是7106，甲数的百位和十位上的数字都是8，乙数百位和十位上的数字都是2。用0代替这两个数里的这些8和2，那么，所得的甲数是乙数的5倍。原来甲乙两个数各是多少?

　　把甲数中的两个数位上的8都用0代替，那么这个数就减少了880;把乙数中的两个数位上的2都用0代替，那么这个数就减少了220。这样，原来两个数的和就一共减少了(880+220)

　　[7106-(880+220)]÷(5+1)+220=1221……乙数

　　7106-1221=5885……甲数

　　已知两个数的差以及它们之间的倍数关系，要求这两个数各是多少的应用题，叫做差倍应用题。

　　解答方法是：

　　差÷(倍数-1)=1份的数

　　1份的数×倍数=几倍的数

　　例1、 甲仓库的粮食比乙仓多144吨，甲仓库的粮食吨数是乙仓库的4倍，甲乙两仓各存有粮食多少吨?

　　以乙仓的粮食存放量为标准(即1份数)，那么，144吨就是乙仓的(4-1)份，从而求得一份是多少。

　　114÷(4-1)=48吨……乙仓

　　例2、 参加科技小组的人数，今年比去年多41人，今年的人数比去年的3倍少35人。两年各有多少人参加?

　　由“今年的人数比去年的3倍少35人”，可以把去年的参加人数作为标准，即一份的数。今年参加人数如果再多35人，今年的人数就是去年的3倍。(41+35)就是去年的(3-1)份

　　去年：(41+35)÷(3-1)=38人

　　例3、 师傅生产的零件的个数是徒弟的6倍，如果两人各再生产20个，那么师傅生产的零件个数是徒弟的4倍。两人原来各生产零件多少个?

　　如果徒弟再生产20个，师傅再生产20×6=120个，那么，现在师傅生产的个数仍是徒弟的6倍。可见20×6-20=100个就是徒弟现有个数的6-2=4倍。

　　(20×6-20)÷(6-4)-20=30个……徒弟原来生产的个数

　　30×6=180个师傅原来生产个数

　　例4、 第一车队比第二车队的客车多128辆，再起从第一车队调出11辆客车到第二车队服务，这时，第一车队的客车比第二车队的3倍还多22辆。原来两车队各有客车多少辆?

　　要求“原来两车队各有客车多少辆”，需要求“现在两车队各有客车多少辆”;要求“现在两车队各有客车多少辆”，要先求现在第一车队比第二车队的客车多多少辆。

[Ok3w_NextPage]

　　1、 现在第一车队比第二车队的客车多多少辆

　　128-11×2=106辆

　　2、 现在第二车队有客车多少辆?

　　(106-22)÷(3-1)=42辆

　　3、 第二车队原有客车多少辆?

　　42-11=31辆

　　4、 第一车队原有客车多少辆?

　　31+128=159辆

　　例5、 小华今年12岁，他父亲46岁，几年以后，父亲的年龄是儿子年龄的3倍?

　　父亲的年龄与小华年龄的差不变。

　　要先求当父亲的年龄是儿子年龄的3倍时小华多少岁，再求还要多少年。

　　(46-12)÷(3-1)-12=5年

　　例6、 甲仓存水泥64吨，乙仓存水泥114吨。甲仓每天存入8吨，乙仓每天存入18吨。几天后乙仓存放水泥吨数是甲仓的2倍?

　　现在甲仓的2倍比乙仓多(64×2-114)吨，要使乙仓水泥吨数是甲仓的2倍，每天乙仓实际只多存入了(18-2×8)吨。

　　(64×2-114)÷(18-2×8)=7天

　　例7、 甲乙两根电线，甲电线长63米，乙电线长29米。两根电线剪去同样的长度，结果甲电线所剩下长度是乙电线的3倍。各剪去多少米?

　　要求“各剪去多少米”，要先求得甲乙两根电线所剩长度各是多少米。两根电线的差不变，甲电线的长度是乙电线的3倍。从而可求得甲乙两根电线所剩下的长度。

　　1、 乙电线所剩的长度

　　(63-29)÷(3-1)=17米

　　2、 剪去长度

　　29-17=12米

　　例8、有甲乙两箱橘子。从甲箱取10只放入乙箱，两箱的只数相等;如果从乙箱取15只放入甲箱，甲箱橘子的只数是乙箱的3倍。甲乙两箱原来各有橘子多少只?

　　要求“甲乙两箱原来各有橘子多少只”，先求甲乙两箱现在各有橘子多少只。

　　已知现在“甲箱橘子的只数是乙箱的3倍”，要先求现在甲箱橘子比乙箱多多少只。原来甲箱比乙箱多10×2=20只，“从乙箱取15只放入甲箱”，又多了15×2=30只。现在两箱橘子相差(10×2+15×2)只。

　　(10×2+15×2)÷(3-1)+15=40只……乙箱

　　40+10×2=60只……甲箱

　　已知两个数的和与它们的差，要求这，叫做和差应用题。

　　解答方法是：

　　(和+差)÷2=大数

　　(和-差)÷2=小数

　　例1、 果园里有苹果树和梨树共308棵，苹果树比梨树多48棵。苹果树和梨树各有多少棵?

　　例2、 甲乙两仓共存货物1630吨。如果从甲仓调出6吨放入乙仓，甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨。甲乙两仓原来各有货物多少吨?

　　从甲仓调出6吨放入乙仓，甲仓的货物比乙仓的货物还多10吨，可知原来两仓货物相差6×2+10=22吨，由此，可根据两仓货物的和与差，求得两仓原有货物的吨数。

　　例3、 某公司甲班和乙班共有工作人员94人，因工作需要临时从乙班调46人到甲班工作，这时，乙班比甲班少12人，原来甲班和乙班各有工作人员多少人?

　　总人数不变。即原来和现在两班工作人员的和都是94人。现在两班人数相差12人。

　　要求原来甲班和乙班各有工作人员多少人，先要求现在甲班和乙班各有工作人员多少人?

　　1、 现在甲班有工作人员多少人

　　(94+12)÷2=53人

　　2、 现在乙班有工作人员多少人

　　(94-12)÷2=41人

　　3、 原来甲班有工作人员多少人

　　53-46=7人

　　4、 原来乙班有工作人员多少人

　　41+46=87人

　　例4、 甲乙丙三人共装订同一种书刊508本。甲比乙多装订42本，乙比丙多装订26本。他们三人各装订多少本?

　　先确定一个人的装订本数为标准。如果我们选定乙的装订本数为标准，从总数508中减去甲比乙多装订4的2本，加上丙比乙少装订的26本，得到的就是乙装订本数的3倍。由此，可求得乙装订的本数。

[Ok3w_NextPage]

　　乙：

　　(508-42+26)÷3=164本

　　甲丙略

　　例5、 三辆汽车共运砖9800块，第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块，第二辆比第三辆汽车多运200块。三辆汽车各运砖多少块?

　　根据“三辆汽车共运砖9800块”和“第一辆汽车比其余两车运的总数少1400块”，可求得第一辆汽车和其余两车各运砖多少块。

　　根据“其余两车共运砖块数”和“第二辆比第三辆汽车多运200块”可求得第二辆和第三辆各运砖多少块。

　　1、 第一辆：

　　(9800-1400)÷2=4200块

　　2、 第二辆和第三辆共运砖块数：

　　9800-4200=5600块

　　3、 第二辆：

　　(5600+200)÷2=2900块

　　4、 第三辆：

　　5600-2900=2700块

　　例6、 甲乙丙三人合做零件230个。已知甲乙两人做的总数比丙多38个;甲丙两人做的总数比乙多74个。三人各做零件多少个?

　　先把跽两人做的零件总数看成一个数，从而求出丙做零件的个数，再把甲丙两人做的零件总数看作一个数，从而求出乙做零件的个数。

　　丙：(230-38)÷2=96个

　　乙：(230-38)÷2=78个

　　甲略

　　例7、 一列客车长280米，一列货车长200米，在平行的轨道上相向而行，两车从两车头相遇到两车尾相离共经过15秒;两列车在平行轨道上同向而行，货车在前，客车在后，从两车相遇(货车车尾和客车车头)到两车相离(货车车头和客车车尾)经过2分钟。两列车的速度各是多少?

　　由相向而行从相遇到相离经过15秒，可求得两列车的速度和(280+200)÷15;由同向而行从相遇到相离经过2分钟，可求得两列车的速度差(280-200)÷(60×2)。从而求得两列车的速度。

　　例8、 五年级三个班共有学生148人。如果把1班的3名学生调到2班，两班人数相等;如果把2班的1名学生调到3班，3班还比2班少3人。三个班原来各有学生多少人?

　　由“如果把1班的3名学生调到2班，两班人数相等”，可知，1班学生人数比2班多3×2=6人;由“如果把2班的1名学生调到3班，3班还比2班少3人”可知，2班学生人数比3班多1×2+3=5人。如果确定以2班学生人数为标准，由“三个班共有学生148人”和“1班学生人数比2班多3×2=6人，2班学生人数比3班多1×2+3=5人”可先求得2班的学生人数。

　　(148-3×2+1×2+3)÷3=49人……2班

　　甲丙班略

　　已知两人的年龄，求他们之间的某种数量关系;或已知两人年龄之间的数量关系，求他们的年龄等，这类问题叫做年龄应用题问题。

　　年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变量。差是定值的两个量，随时间的变化，倍数关系也会发生变化。

　　这类应用题往往是和差应用题、和倍应用题、差倍应用题的综合应用。

　　例1、 小方今年11岁，他爸爸今年43岁，几年以后，爸爸的年龄是小方年龄的3倍?

　　因为小方与爸爸的年龄差43-11=32不变。以几年后小方的年龄为1份数，爸爸的年龄就是3份的数。根据差倍应用题的解法，可求出小方几年后的年龄。

　　(43-11)÷(3-1)=16岁

　　16-11=5年

　　例2、 妈妈今年比儿子大24岁，4年后妈妈年龄是儿子的5倍。今年儿子几岁?

　　“妈妈今年比儿子大24岁“，4年后也同样大24岁，根据差倍应用题的解法，可求得4年后儿子的年龄，进而求得今年儿子的年龄。

　　24÷(5-1)-4=2岁

　　例3、 今年甲乙两人年龄和为50岁，再过5年，甲的年龄是乙的4倍。今年甲乙两人各几岁?

　　今年甲乙两人年龄和为50岁，再过5年，两人的年龄和是50+5×2=60岁。根据和倍应用题的解法 。可求得5年后乙的年龄，从而求得今年乙的年龄和甲的年龄。

[Ok3w_NextPage]

　　例4、 小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄。小高4年后与小王3年前的年龄和是35岁。今年两人各是多少岁?

　　由“小高5年前的年龄等于小王7年后的年龄“可知，小高比小王大5+7岁;他们俩今年年龄的和为：35+3-4=30岁，根据和差应用题的解法，可求得今年两人各是多少岁。

　　由第一个条件可知，小高比小王在5+7=12岁。由第二个条件可知，他们的年龄和为35+3-4=34岁。

　　“根据两个差求未知数”是指分析问题的思考方法。“两个差”是指题目中有这样的数量关系。例如：总量之差与单位量之差;时间之差与速度之差或距离之差等等。解题时可以找出题目中的两个差，再根据两个这间的相应关系使总量得到解决。

　　例1、 百货商场上午卖出洗衣机8台，下午卖出同样的洗衣机12台，下午比上午多收售货款6600元，每台洗衣机售价多少元?

　　6600÷(12-8)=1650元

　　例2、 一辆汽车上午行驶120千米，下午行驶210千米。下午比上午多行驶1.5小时。平均每小时行驶多少千米?

　　(210-120)÷1.5=60千米

　　例3、 新建一个图书室和一个办公室。室内地面共有234平方米。已知办公室比图书室小54平方米。用同样的砖铺地，图书室比办公室多用864块。图书室和办公室地面各用砖多少块?

　　由“办公室比图书室小54平方米”和“图书室比办公室多用864块”可求得“平均每平方米需用砖多少块”;由“室内地面共有234平方米”和“办公室比图书室小54平方米”，可求得“”。从而求得各用砖多少块。

　　例4、 甲乙两人同时从东村出发去西村，甲每分钟行76米，乙每分钟行68米。到达西村时，乙比甲多用了4分钟。东西两村间的路程是多少米?

　　甲乙两人同时从东村出发，当甲到达西村时，乙距西村还有4分钟的路程。乙每分钟行68米，4分钟能行68×4=272米。也就是说，在相同的时间内，甲比乙多行272米。这是路程这差。每分钟甲比惭多行76-68=8米，这是速度这差。根据这两个差，可以求出甲走完全程所用的时间，从而求得两村之间的路程。

　　76×[68×4÷(76-68)]=2584米

　　例5、 冰箱厂原计划每天生产电冰箱40台，改进工艺后，实际每天比原计划多生产5台这样，提前2天完成了这批生产任务外，还比原计划多生产了35台。实际生产电冰箱多少台?

　　要求“实际生产电冰箱多少台”，需要知道“实际每天生产多少台”和“实际生产了多少天”。

　　如果实际上再生产 2 天后话，还能生产(40+5)×2=90台，双知比原计划还多生产35台，实际上比原计划多生产了90+35=125台，这是一个总量之差。又知实际每天比原计划多生产5台，这是生产效率之差。根据这两个差可以求出原计划生产的天数。从而求得实际生产电冰箱的台数

　　40×{[(40+5)×2+35]÷5}+35=1035台

　　例6、 食品厂运来一批煤，原计划每天生产480千克，烧了预定的时间后，还剩下1680千克;改进烧煤方法后，实际每天烧400千克，烧了同样的时间后，还剩下4080千克。这批煤共有多少千克?

　　要求这批煤共有多少千克，先要求出预定烧的天数。计划烧后还剩1680千克，实际烧后还剩4080千克可求得实际比坟墓多剩多少千克，这是剩下总量之差，实际每天烧400千克，计划每天烧480千克，可求得每天烧煤量之差。根据这两个差，可求得烧了多少天。进而可求得烧了多少千克，这批煤共有多少千克。

　　400×[(4080-1680)÷(480-400)]+4080=16080千克

　　有关栽树以及与栽树相似的一类应用题，叫做植树问题。植树问题通常有两种形式。一种是在不封闭的线路上植树，另一种是在封闭的线路上植树。

[Ok3w_NextPage]

　　1、 不封闭线路上植树

　　如果在一条不封闭的线路上可不可能，而且两端都植树，那么，植树的棵数比段数多。其数量关系如下：

　　棵数=总长÷株距+1

　　总长=株距×(棵数-1)

　　株距=总长÷(棵数-1)

　　2、 在封闭的线路上植树，那么植树的棵数与段数相等。其数量关系如下：

　　棵数=总长÷株距

　　总长=株距×棵数

　　株距=总长÷棵数

　　例1、 有一条公路全长500米，从头至尾每隔5米种一棵松树。可种松树多少棵?

　　500÷5 +1=101棵

　　例2、 从校门口到街口，一共插有30面红旗，相邻两面红旗相隔6米。从校门口到街口长多少米?

　　6×(30-1)=174米

　　例3、 在一条长150米的大路两旁各栽一行树，起点和终点都栽，一共栽了102棵。每相邻两棵树之间的距离相等。相邻两棵树之间的距离有多少米?

　　150÷(102÷2-1)=3米

　　例4、 在一个周长为600米的池塘周围植树，每隔10米栽一棵杨树，在相邻两棵杨树之间每隔2米栽1棵柳树。杨树和柳树各栽了多少棵?

　　根据“棵数=总长÷株距”，可以求出杨树的棵数

　　在每两棵杨树之间可分为10÷2=5段，栽柳树4-1=4棵。由此，可以求得柳树的棵数。

　　杨树：600÷10=60棵

　　柳树：(10÷2-1)×60=240棵

　　例5、 一条马路一侧，原有木电线杆97根，每相邻的两根相距40米。现在计划全部换用大型水泥电线杆，每相邻两根相距60米。需要大型水泥电线杆多少根?

　　1、 这条路全长多少米

　　40×(97-1)=3840米

　　2、 需要大型水泥电线杆多少根

　　3840÷60+1=65根

　　例6、 一座大桥长200米，计划在大桥两侧的栏杆上共安装32块图案，每块图案长2米，靠近桥两端的图案离桥端10.5米。相邻两图案之间的距离是多少米?

　　在桥两侧共装32块图案，即每侧装16块，图案之间的间隔有16-1=15个。用总长减去16块图案的距离就可以知道15个间隔的长度。

　　[200-2×(32÷2)-10.5×2]÷(32÷2-1)

　　相向运动问题 同向运动问题(追及问题) 背向运动问题(相离问题)

　　在行车、行船、行走时，按照速度、时间和距离之间的相依关系，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题，叫做行程应用题。也叫行程问题。

　　行程应用题的解题关键是掌握速度、时间、距离之间的数量关系：

　　距离=速度×时间

　　速度=距离÷时间

　　时间=距离÷速度

　　按运动方向，行程问题可以分成三类：

　　1、 相向运动问题(相遇问题)

　　2、 同向运动问题(追及问题)

　　3、 背向运动问题(相离问题)

　　十、行程应用题

　　相向运动问题(相遇问题)，是指地点不同、方向相对所形成的一种行程问题。两个运动物体由于相向运动而相遇。

　　解答相遇问题的关键，是求出两个运动物体的速度之和。

　　基本公式有：

　　两地距离=速度和×相遇时间

　　相遇时间=两地距离÷速度和

　　速度和=两地距离÷相遇时间

　　例1、 两列火车同时从相距540千米的甲乙两地相向而行，经过3.6小时相遇。已知客车每小时行80千米，货车每小时行多少千米?

　　例2、 两城市相距138千米，甲乙两人骑自行车分别从两城出发，相向而行。甲每小时行13千米，乙每小时行12千米，乙在行进中因修车候车耽误1小时，然后继续行进，与甲相遇。求从出发到相遇经过几小时?

　　因为乙在行进中耽误1小时。而甲没有停止，继续行进。也可以说，甲比乙多行1小时。如果从总路程中把甲单独行进的路程减去，余下的路程就是跽两人共同行进的。

　　(138-13)÷(13+12)+1=6小时

　　例3、 计划开凿一条长158米的隧道。甲乙两个工程队从山的两边同时动工，甲队每天挖2.5米，乙队每天挖进1.5米。35天后，甲队调往其他工地，剩下的由乙队单独开凿，还要多少天才能打通隧道?

[Ok3w_NextPage]

　　要求剩下的乙队开凿的天数，需要知道剩下的工作量和乙队每天的挖进速度。

　　要求剩下的工作量，要先求两队的挖进速度的和，35天挖进的总米数，然后求得剩下的工作量。

　　[158-(2.5+1.5)×35]÷1.5=12天

　　例4、 一列客车每小时行95千米，一列货车每小时的速度比客车慢14千米。两车分别从甲乙两城开出，1.5小时后两车相距46.5千米。甲乙两城之间的铁路长多少千米?

　　已知1.5小时后两车还相距46.5千米，要求甲乙两城之间的铁路长，需要知道1.5小时两车行了多少千米?要求1.5小时两车共行了多少千米。需要知道两车的速度。

　　(95-14+95)×1.5+46.5=310.5千米

　　例5、 客车从甲地到乙地需8小时，货车从乙地到甲地需10小时，两车分别从甲乙两地同时相向开出。客车中途因故停开2小时后继续行驶，货车从出发到相遇共用多少小时?

　　假设客车一出发即发生故障，且停开2小时后才出发，这时货车已行了全程的 ×2= ，剩下全程的1- = ，由两车共同行驶。

　　(1- ×2)÷( - )+2= 小时

　　例6、 甲乙两地相距504千米，一辆货车和一辆客车分别从两地相对开出。货车每小时行72千米，客车每小时行56千米。如果要使两车在甲乙两地中间相遇，客车需要提前几小时出发?

　　要求“如果要使两车在甲乙两地中间相遇，客车需要提前几小时出发”要先求出货车和客车行一半路程各需要多少小时。

　　1、 货车行至两地中间需要多少小时。

　　504÷2÷72=3.5小时

　　2、 客车行至两地中间需要多少小时。

　　504÷2÷56=4.5小时

　　3、 客车要提前几小时出发?

　　4.5-3.5=1小时

　　例7、 甲乙两人分别以均匀速度从东西两村同时相向而行，在离东村36千米处相遇。后继续前进，到达西村后及时返回，又在离东村54千米处相遇，东西两村相距多少千米?

　　36千米

　　54千米

　　两人第一次相遇，合走了一个全程，第二次相遇，2合走了3个全程。

　　两人合走了3个全程时，甲走了两个全程少54千米。

　　(36×3+54)÷2=81千米

　　例8、 甲从A地到B地需5小时，乙从B地到A地，速度是甲的 。现在甲乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行，在途中相遇后继续前进。甲到B地后立即返回，乙到A地后也立即返回，他们在途中又一次相遇。两次相遇点相距72千米。AB两地相距多少千米?

　　要求AB两地相距多少千米，关键是找出两次相遇点的距离占全程的几分之几

　　1、甲每小时行全程的几分之几

　　1÷5=

　　2、 乙每小时行全程的几分之几

　　× =

　　3、 第一次相遇用了多少小时

　　1÷( + )=

　　4、 两人合行了2个全程，甲行了全程的几分之几

　　× ×2=

　　5、 两人合行了2个全程，乙行了全程的几分之几

　　× ×2=

　　6、 两次相遇点的距离占全程的几分之几十、行程应用题

　　两个运动物体同向而行，一快一慢，慢在前快在后，经过一定时间快的追上慢的，称为追及。

　　解答追及问题的关键，是求出两个运动物体的速度之差。基本公式有：

　　追及距离=速度差×追及时间

　　追及时间=追及距离÷速度差

　　速度差=追及距离÷追及时间

　　例1、 甲乙两人在相距12千米的AB两地同时出发，同向而行。甲步行每小时行4千米，乙骑车在后面，每小时速度是甲的3倍。几小时后乙能追上甲?

　　12÷(4×3-4)=1.5小时

　　例2、 一个通讯员骑摩托车追赶前面部队乘的汽车。汽车每小时行48千米，摩托车每小时行60千米。通讯员出发后2小时追上汽车。通讯员出发的时候和部队乘的汽车相距多少千米?

　　要求距离差，需要知道速度差和追及时间。

[Ok3w_NextPage]

　　距离差=速度差×追及时间

　　(60-48)×2=24千米

　　例3、 一个人从甲村步行去乙村，每分钟行80米。他出发以后25分钟，另一个人骑自行车追他，10分钟追上。骑自行车的人每分钟行多少米?

　　要求“骑自行车的人每分钟行多少米”，需要知道“两人的速度差”;要求“两人的速度差”需要知道距离差和追及时间

　　80×25÷10+80=280米

　　例4、 甲乙两人从学校步行到少年宫。甲要走20分钟，乙要走30分钟。如果乙先走5分钟，甲需要几分钟才能追上乙?

　　×5÷( - )-10分钟

　　例5、 甲乙两人骑自行车同时从学校出发，同方向前进，甲每小时行15千米，乙每小时行10千米。出发半小时后，甲因事又返回学校，到学校后又耽搁1小时，然后动身追乙。几小时后可追上乙?

　　先要求得甲先后共耽搁了多少小时，甲开始追时，两人相距多少千米

　　10×(0.5×2+1)÷(15-10)=4小时

　　例6、 甲乙丙三人都从甲地到乙地。早上六点甲乙两人一起从甲地出发，甲每小时行5千米，乙每小时行4千米。丙上午八点才从甲地出发，傍晚六点，甲、丙同时到达乙地。问丙什么时候追上乙?

　　要求“两追上乙的时间”，需要知道“丙与乙的距离差”和“速度差”。

　　要先求丙每小时行多少千米，再求丙追上乙要多少时间

　　1、 丙行了多少小时

　　18-8=10小时

　　2、 丙每小时比甲多行多少千米

　　5×2÷10=1千米

　　3、 丙每小时行多少千米

　　5+1=6千米

　　4、 丙追上乙要用多少小时

　　4×2÷(6-4)=4小时

　　例7、 快中慢三辆车同时从同一地点出发，沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟、10分钟、12分钟追上骑车人。现在知道快车每小时行24千米，中车每小时行20千米，那么慢车每小时行多少千米?

　　快中慢三辆车出发时与骑车人的距离相同，根据快车和中车追上骑车人的路程差和时间差可求得骑车人的速度，进而求慢车每小时行多少千米。

　　单位换算略。6分钟= 小时 10分钟= 小时 12分钟= 小时

　　1、 快车 小时行多少千米

　　24× =2.4千米

　　2、 中车 小时行多少千米

　　20× = 千米

　　3、 骑车人每小时行多少千米

　　( -2.4)÷( - )=14千米

　　4、 慢车每小时行多少千米

　　(20-14)× ÷ +14=19千米

　　例8、 甲乙两人步行速度的经是7：5，甲乙两人分别由AB两地同时出发，如果相向而行，0.5小时相遇;如果他们同向而行，那么甲追上乙需要多少小时?

　　设具体数解题。

　　设甲乙两人步行的速度分别为每小时7千米和5千米。

　　由相向而行，可求得AB两地韹距离，进而由速度差，求得追及时间。

　　1、 AB之间的路程是多少千米

　　(7+5)×0.5=6千米

　　2、 甲追上乙要多少小时

　　6÷(7-5)=3小时

　　十、行程应用题

　　背向运动问题(相离问题)，是指地点相同或不同，方向相反的一种行程问题。两个运动物体由于背向运动而相离。

　　解答背向运动问题的关键，是求出两个运动物体共同走的距离(速度和)。基本公式有：

　　两地距离=速度和×相离时间

　　相离时间=两地距离÷速度和

　　速度和=两地距离÷相离时间

　　例1、 甲乙两车同时同地相反方向开出，甲车每小时行40千米，乙车乙车每小时快5.5千米。4小时后，两车相距多少千米?

　　例2、 甲乙两车从AB两地的中点同时相背而行。甲车以每小时40千米的速度行驶，到达A地后又以原来的速度立即返回，甲车到达A地时，乙车离B地还有40千米。乙车加快速度继续行驶，到达B地后也立即返回，又用了7.5小时回到中点，这时甲车离中点还有20千米。乙车加快速度后，每小时行多少千米?

[Ok3w_NextPage]

　　乙车在7.5小时内行驶了(40×7.5+40+20)千米的路程，这样可以求得乙车加快后的速度。

　　(40×7.5+40+20)÷7.5=48(千米)

　　例3、 甲乙两车同时同地同向而行，3小时后甲车在乙车前方15千米处;如果两车同时同地背向而行，2小时后相距150千米。甲乙两车每小时各行多少千米?

　　根据“3小时后甲车在乙车前方15千米处”，可求得两车的速度差;根据“两车同时同地背向而行，2小时后相距150千米”，可求得两车的速度和。从而求得甲乙两车的速度(和差问题)

　　流水问题就是船在水中航行的行程问题。它有几种速度：

　　静水速度，船本身的速度，即船在静水中航行的速度。

　　水流速度，水流动的速度，即没有外力的作用水中漂浮的速度。

　　顺水速度，当船航行方向与水流方向一致时的速度。

　　逆水速度，当船航行方向与水流方向相反时的速度。

　　它们的关系如下：

　　顺水速度=静水速度+水流速度

　　逆水速度=静水速度–水流速度

　　例1、两码头相距108千米，一艘客轮顺水行完全程需要10小时，逆水行完全程需要12小时。求这艘客轮的静水速度和水流速度。

　　1、 顺水速度：108÷10=10.8千米

　　2、 逆水速度：108÷12=9千米

　　3、 静水速度：(10.8–9)÷2=9.9千米

　　例2、一客轮顺水航行320千米需要8小时，水流速度每小时5千米。逆水每小时航行多少千米?这一客轮逆水行完全程，需要用几小时?

　　要求逆水速度，需要知道顺水速度和水流速度;知道了逆水速度，就可求得行完全程所需时间。

　　1、 顺水速度：320÷8=40千米

　　2、 逆水速度：40-15×2=10千米

　　3、 逆水行完全程，需用几小时：320÷10=32小时

　　例3、某往返于甲乙两港，顺水航行每小时行15千米;逆水航行每小时行12千米，已知顺水行完全程比逆水少用2小时，求甲乙两港的距离。

　　顺水行完全程比逆水少用2小时,就是说，逆水行完全程多用2小时。行完全程逆水比顺水12×2=24千米。顺水每小时比逆水快15-12=3千米，由此，求得顺水行完全程所需时间，进而求得两港的距离。

　　15×[12×2÷(15–12)]=120千米

　　例4、 甲船逆水航行360千米需18小时，返回原地需10小时;乙船逆水航行同样一段距离需15小时，返回原地需多少小时?

　　由题中甲船逆水、顺水航行的距离和时间，可以求得甲船速度与水速的和及差，从而可以求出水速。

　　由乙船逆水航行的距离和时间，可以求得乙船在逆水中的速度;由乙船逆水速度水速可以求得乙船顺水速度，从而求得乙船返回原地需要的时间。

　　1、 甲船的顺水速度

　　360÷10=36千米

　　2、 甲船的逆水速度

　　360÷18=20千米

　　3、 水流速度

　　(36-20)÷2=8千米

　　4、 乙船逆水速度

　　360÷15=24千米

　　5、 乙船顺水速度

　　24+8×2=40千米

　　6、 乙船返回原地时间

　　360÷40=9小时

　　例5、 AB两港相距120千米，甲乙两船从AB两港相向而行6小时后相遇。甲船顺水航行，甲船比乙船多行48千米，水速每小时1.5千米。求甲乙两船的静水速度。

　　要求甲乙两船的静水速度，只需求出甲乙两船的静水速度的和与静水速度的差。

　　1、 甲船顺水速度与乙船逆水速度的和

　　120÷6=20千米

　　2、 甲乙两船静水速度的和

　　甲顺水速度+乙逆水速度=(甲静水速度+1.5)+(乙静水速度-1.5)= 甲静水速度+乙静水速度=20千米

　　3、 甲船顺水速度与乙船逆水速度的差

　　48÷6=8千米

　　4、 甲乙两船静水速度的差

　　甲顺速-乙逆速=(甲静速+1.5)-(乙静速-1.5)=甲静速-乙静速+1.5×2=8

[Ok3w_NextPage]

　　甲静速-乙静速、8-1.5×2=5千米

　　5、 甲船的静水速度。

　　(20+5)÷2=12.5千米

　　6、 乙船的静水速度

　　(20-5)÷2=7.5千米

　　把一定数量的东西平均分配，如果多分，东西不足;少分，东西有余。分物时出现盈(有余)、亏(不足)或尽(刚好分完)几种情况，这类问题叫做盈亏问题。

　　解答盈亏问题有下列几个公式：

　　1、 一盈一亏类

　　(盈数+亏数)÷再次分物数量差=分物对象的个数

　　2、 一盈一尽类

　　盈数÷两次分物数量的个数=分物对象的个数

　　3、 一亏一尽类

　　亏数÷两次分物数数量差=分物对象的个数

　　4、 两盈类

　　(大盈数–小盈数)÷两次分物数量差=分物对象的个数

　　例1、 同学们去划船。如果每条船坐5人，有14人没有座位;如果每条船坐7人，多4个空位。问有多少条船?学生多少人?

　　比较一下两次安排，第一次有14人没有座位，第二次又多4个座位，一盈一亏。两次相差14+4=18人。

　　这18人是由于第二次安排时每条船比第一次多坐7-5=2人，多出18人有几条船呢?

　　(14+4)÷(7-5)=9条

　　5×9+14=59人

　　或7×9-4=49人

　　例2、 学校分配宿舍，每个房间住3人，则多出20人;每个房间住5人，刚好安排好。部有房间多少个?学生多少人?

　　比较一下两次安排，第一次多出20人，第二次刚好，两次相差20人。这20人是疏于第二次安排时，每个房间比第一次多住5-3=2人

　　例3、 学校买来一批新书。如果每人借5本则少150本;如果每人借3本则少70本。借书的学生有多少人?买来新书多少本?

　　(150-70)÷(5-3)=40人

　　5×40-150=50本

　　例4、 猴子分桃子。每只小猴分5个还多23个;每只小猴分9个还多3个。这堆桃子有多少个?小猴有多少只?

　　(23-3)÷(9-5)=5只

　　9×5+3=48个

　　例5、 一列火车装运一批货物，原计划每节车皮装46吨，结果有100吨货物没有装上去;后来改进装车方法，使每节车皮多装4吨，结果把这批货物全部装完，而且还剩下两节空车皮。问这列火车有多少节车皮?这批货物有多少吨?

　　[100+(46+4)×2]÷4=50节……车皮

　　46×50+100=2400吨……货物

　　例6、 把许多橘子分给一些小朋友。如果其中3人，每人分给3只，其余小朋友每人分给3只，还余9只;如果其中2人分给3只，其余小朋友每人分给5只，恰好分尽。问橘子有多少只?小朋友有多少人?

　　将第一种分配方案转述为：每人分3只，还多(4-3)×3+9=12只;将第二种分配方案转述为：每人分5只，还少5-3=2只。

　　1、 每人分3只，还多多少只?

　　(4-3)×3+9=12只

　　2、 每人分5只，还少多少只?

　　5-3=2只

　　3、 小朋友有多少人

　　(12+2)÷(5-3)=7人

　　4、 橘子有多少只

　　4×3+3×(7-3)+9=33只

　　已知大小不相等的两部分，移多补少使两部分同样多的应用题，叫做差额平分问题。

　　通常的解答方法是：先求出两部分数量的差(差额)，再将其差平均分成两份，取其中一份，使两部分相等。

　　例1、 有甲乙两个书架。甲书架上有书940本，乙书架上有书1280本。要使两书架上书的本数相等，应从乙书架取多少本书放入甲书架?

　　先求出乙书架上的书比甲书架多多少本。再把差额平分成两份。

　　(1280-940)÷2=170

　　例2、 一班有学生52人，调6人到二班，两个班的学生人数相等。二班原来有学生多少人?

　　由“调6人到二班，两个班的学生人数相等”，可知，原来一班比二班多6×2=12人。由此求得二班原有人数。

[Ok3w_NextPage]

　　52-6×2=40人

　　例3、 甲仓有大米1584袋，乙仓有大米858袋，每天从甲仓运33袋到乙仓，几天后两仓的大米袋数相等?

　　要求“要运多少天”，先要求甲仓总共要运多少大米到乙仓，再求每天运33袋，要运多少天>

　　(1584-858)÷2÷33=11天

　　例4、 甲乙丙三个组各拿出相等的钱去习同样的数学书。分配时，甲组要22本，乙组要23本，丙组要30本。因此，丙组还给甲组13.5元，丙组还要还给乙组多少元?

　　先要求平均时，各组应分得多少本，甲组少分了多少本，乙组少分了多少本。每本多少元，然后再求丙组还要给乙组多少元。

　　1、 平均分时，各组应得多少本

　　(22+23+30)÷3=25本

　　2、 甲少分了多少本

　　25-22=3本

　　3、 乙少分了多少本

　　25-23=2本

　　4、 每本多少元

　　13.5÷3=4.5元

　　5、 丙组还应给乙组多少元

　　4.5×2=9元

　　例5、 、甲乙丙三校合买一批树苗。分配时，甲校比乙丙两校多分60棵，因此，甲校还给乙、丙两校各160元。每棵树苗多少元?

　　1、 乙丙两校各少分了多少棵

　　60÷3=20棵

　　2、 每棵树苗多少元

　　160÷20=8元

　　例6、 甲仓有粮食100吨，乙仓有粮食20吨。从甲仓调多少吨粮食到乙仓，乙仓的粮食是甲仓的2倍?

　　要求“从甲仓调多少吨粮食到乙仓，乙仓的粮食是甲仓的2倍”，需要知道“调粮后甲仓有多少吨”。

　　两仓一共有存粮多少吨，乙仓是甲仓的2倍，根据和倍应用题的解答方法，可求得调粮后甲仓有粮多少吨?再求要调出粮食多少吨。

　　1、 两仓共有粮食多少吨

　　100+20=120吨

　　2、 调粮后甲仓有粮多少吨

　　120÷(2+1)=40吨

　　3、 甲仓要调出多少吨到乙仓

　　100-40=60吨

　　100-(100+20) ÷(2+1) =60吨

　　糖与糖水重量的比值叫做糖水的浓度;盐与盐水的重量的比值叫做盐水的浓度。我们习惯上把糖、盐、叫做溶质(被溶解的物质)，把溶解这些 物质的液体，如水、汽油等叫做溶剂。把溶质和溶剂混合成的液体，如糖水、盐水等叫做溶液。

　　一些与浓度的有关的应用题，叫做浓度问题。

　　浓度问题有下面关系式：

　　浓度=溶质质量÷溶液质量

　　溶质质量=溶液质量×浓度

　　溶液质量=溶质质量÷浓度

　　溶液质量=溶质质量+溶剂质量

　　溶剂质量=溶液重量×(1–浓度)

　　例1、 浓度为25%的盐水120千克，要稀释成浓度为10%的盐水，应该怎样做?

　　加水稀释后，含盐量不变。所以要先求出含盐量，再根据含盐量求得稀释后盐水的重量，进而求得应加水多少克。

　　120×25%÷10%-120=180克

　　例2、 浓度为70%的酒精溶液500克与浓度为50%酒精溶液300克，混合后所得到的酒精溶液的浓度是多少?

　　要求混合后的溶液浓度，需要知道混合后溶液的总重量及所含纯酒精的重量。

　　(500×70%+300×50%)÷(500+300)=62.5%

　　例3、 有含盐8%的盐水40千克，要配制含盐20%的盐水100千克需加水和盐各多少千克?

　　根据“要配制含盐20%的盐水100千克”可求得新的盐水中盐和水的重量。

　　加盐多少千克：100×20%-40×8%=16.8千克

　　例4、 从装满100克浓度为80%的盐水杯中倒出40克盐水后，再倒入清水将倒满，搅拌后再倒出40克盐水，然后再倒入清水将杯倒满。这样重复三次后，杯中盐水的浓度是多少?

　　最后杯中盐水的的重量仍为100克，因此只需要求出最后盐水中含有多少盐，就可求得最后盐水的浓度。要求剩下的盐，需要求出三次倒出的盐水中含有多少盐，每次倒出的盐水虽然都是40克，但是由于浓度不同，所以含盐量不相同。

[Ok3w_NextPage]

　　1、 原来杯中盐水含盐多少克?

　　100×80%=80克

　　2、 第一次倒出的盐水中含盐多少克?

　　40×80%=32克

　　3、 加满清水后，盐水浓度为多少?

　　(80-32)÷100=48%

　　4、 第二次倒出的盐水中含盐多少克?

　　40×48%=19.2克

　　5、 加满清水后，盐水浓度为多少?

　　(80-32-19.2)÷100=28.8%

　　6、 第三次倒出的盐水中含盐多少克?

　　40×28.8%=11.52克

　　7、 加满清水后，盐水浓度为多少?

　　(80-32-19.2-11.52)÷100=17.28%

　　应用最大公约数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与人数公倍数问题。

　　解题的关键是先求出几个数的最大公约数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。

　　例1、 有三根铁丝，一佷长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米?一共可以截成多少段?

　　截成的小段一定是18、24、30的最大公约数。先求这三个数的最大公约数，再求一共可以截成多少段。

　　(18、24、30)=6

　　(18+24+30)÷6=12段

　　例2、 一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米?能截多少正方形?

　　要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公约数。

　　(36、60)=12

　　(60÷12)×(36÷12)=15个

　　例3、 用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束?每个花束里至少要有几朵花?

　　要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公约数>

　　1、 最多可以做多少个花束

　　(96、72)=24

　　2、 每个花束里有几朵红玫瑰花

　　96÷24=4朵

　　3、 每个花束里有几朵白玫瑰花

　　72÷24=3朵

　　4、 每个花束里最少有几朵花

　　4+3=7朵

　　例4、 公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车?

　　这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。

　　[5、10、6]=30

　　例5、 某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个;第二道工序每个工人每小时可完12个;第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安适几个工人最合理?

　　安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。

　　1、 在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少?

　　[3、12、5]=60

　　2、 第一道工序应安排多少人

　　60÷3=20人

　　3、 第二道工序应安排多少人

　　60÷12=5人

　　4、 第三道工序应安排多少人

　　60÷5=12人

　　例6、 有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个;每18个放一盒，就少1个;每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个?

[Ok3w_NextPage]

　　每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个;每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1;每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7=14个，应是少1个。也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。

　　如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。

　　1、 刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个

　　[12、18、15]=180

　　2、 在300至400之间的180的倍数是多少

　　180×2=360

　　3、 这批零件共有多少个

　　360-1=359个

　　例7、 一个数除193余4，除1089余9。这个数最大是多少?

　　这个数除(193-4)，没有余数，这个数除(1089-9)没有余数。这个数一定是(193-4)和(1089-9)的公约数。要求这个数最大，那么一定是这两个数的最大公约数。

　　193-4=189

　　1089-9=1080

　　(189、1080)=27

　　例8、 公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动?

　　不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。

　　1、 从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动?

　　[45、60]=180

　　2、 全路长多少米?

　　45×(25-1)=1080米

　　3、 可以有几根不需要移动?

　　1080÷180+1=7米

　　顺次差1 的几个整数叫做连续数。

　　顺次差2的几个偶数叫做连续偶数。

　　顺次差2的几个奇数叫做连续奇数。

　　已知几个连续数的和，求这几个连续数各是多少的应用题。叫做连续数问题。

　　连续数的每一个数叫一项。最前面的项叫首项，最后面的项叫末项，转眼间的项叫中项。各个项数的和叫总和。

　　它的计算方法是：

　　{和–[1+2+3+……+(项数–1)]}÷项数=最小项(首项)

　　{和+[1+2+3+……+(项数–1)]}÷项数=最大项(末项)

　　总和÷项数=中间项(中项)

　　(首项+末项)×项数÷2=总和

　　例1、 7个连续自然数的和是84，这7个数各是多少?

　　可以先求最大数，也可以先求最小数，还可以先求中间数。

　　解法一：先求最大数：

　　(84+1+2+3+4+5+6)÷7=15

　　连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15。

　　解法二：(84-1-2-3-4-5-6)÷7=9

　　连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15

　　解法三：当连续数的个数是奇数时，一般可以先求中间数。

　　84÷7=12

　　连续的各数是：9、10、11、12、13、14、15

　　例2、 6个连续偶数的和是150，这6个偶数各是多少?

　　解法一：先求最大数：(150+2+4+6+8+10)÷6=30

　　6个连续偶数是：20、22、24、26、28、30。

　　解法二：先求最小数(150-2-4-6-8-10)=20

　　6个连续偶数是：20、22、24、26、28、30。

　　例3、 有七个连续奇数，第七个数是第二个数的3倍。求各数。

　　第七个数比第二个数大2×(7-2)=10，第七个数是第二个数的3倍，根据“差倍应用题”的计算方法，就可先求得第二个数。

　　[2×(7-2)]÷[3-1]=5

　　七个连续奇数是：3、5、7、9、11、13、15。

　　例4、 有七张电影票，座号是连续的单号。其座号的和是49，这些票各是多少号?

　　解法一：先求最大号：

　　(49+2+4+6+8+10+12)÷7=13

　　七个连续的单号是：1、3、5、7、9、11、13。

[Ok3w_NextPage]

　　解法二：先求最小号

　　解法三先求中间号：(略)

　　我们知道，求两个数的和，只要直接相加就可得到结果。但是在有的情况下，却不能直接相加，它关系到重叠部分的数量关系的问题，我们把这类问题称为“重叠问题”。

　　解答重叠问题的关键是要结合图形。在计算一个问题时，可以把总量分成几个分量来计算，先把每个分量加起来，然后再减去重叠计算的部分。

　　例1、 同学们去采集标本。采集昆虫标本的有32人，采集花草标本的有25人，两种标本都采集的有16人。去采集标本的共有多少人?

　　要求去采集标本的总人数，不能用32人和25人相加得到。在32人中包含有16人，在25人中也包含有16人。重复包含的16人加了两次。所以，还要减去重复计算的16人。

　　32+25-16=41人

　　例2、 某班36个同学在一次数学测验中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都对的有15人。问有几个同学两题都不对?

　　要求有几个同学两题都不对，先要求做对其中一题的有几人。

　　1、 做对其中一题的有几人

　　25+23-15=33人

　　2、 有几人两题都不对

　　36-33=3人

　　例3、 一个班有学生45人，参加体育队的有32人，参加文艺队的有27人，每人至少参加一个队。 问这个班两队都参加的有多少人?

　　32+27=59人，总数超过了全班人数。因为有一部分同学参加了两队。所以只要在总数中减去全班的人数，就是两队都参加的人数

　　32+27-45=14人

　　例4、 某班数学、英语期中考试的成绩如下：英语得100分的有12人，数学得100分的有10人，两门功课都得100分的有3人，两门功课都未得100分的有26人。这个班有学生多少人?

　　26人

　　3人

　　10人

　　12人

　　全班?人

　　从图中可以明显地看出，两门功课都得100分的有3人，在10人中计算了一次，在12人中又计算了一次。

　　26+(10+12-3)=45人

　　例5、 某班共有学生50人，其中35人会游泳，38人会骑自行车，40人会溜冰,46人会打乒乓球。问四项活动都会的人数至少有多少人?

　　要求四项活动都会的人数至少有多少人，首先要求出有一个项目不会的至多有多少人，然后从总人数中减去它。

　　1、 不会游泳的有多少人?

　　50-35=15人

　　2、 不会骑自行车的有多少人?

　　50-38=12人

　　3、 不会溜冰的有多少人?

　　50-40=10人

　　4、 不会打乒乓球的有多少人?

　　50-46=4人

　　5、 有一个项目不会的至多有多少人?

　　15+12+10+4=41人

　　6、 四个项目都会的至少有多少人?

　　50-41=9人

　　例6、 有三个面积都是60平方厘米的圆，两两相交的面积分别为9、13、15平方厘米。三个圆相交部分的面积为5平方厘米。总体图形盖住的面积是多少平方厘米?

　　先求得三个圆面积的和，再减去两两相交的重叠部分。这样三个圆相交部分的面积多减了一次，要加上它。

　　6×3-9-13-15+5=148平方厘米

　　例7、 在26名同学中会打乒乓球的有13人，会打网球的有12人，会打羽毛球的有9人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有2人，既会打羽毛球又会打网球的有3人。但没有人这三种球都会打，也没有人这三种球都不会打。有多少人既会打乒乓球又会打网球?

　　设既会打乒乓球又会打网球的有X人。

　　由图可知，只会打乒乓球的有(11-X)人;只会打网球的有(9-X)人;只会打羽毛球的有4人。一共有26人。由此可以列出方程。

　　11-X+9-X+4+X+2+3=26

　　X=3

　　以钟表上的时针和分针行走的速度、时间、距离等方面计算为内容的应用题，叫做时钟问题。

[Ok3w_NextPage]

　　时钟问题可以理解为分针追时针的追及问题。解答这类问题的关键就是求“速度差”。

　　分针走60格的同时，时针只走了5格。也就是分针走一格，时针走 = 格。分针每分钟比时针多走1– = 格。这个速度差是固定不变的。

　　例1、 现在是下午4时正，5时以前时针与分针正好重合的时刻是几时几分?

　　这是分针追及时针的问题。4时正，分针在时针后20小格，两针重合的时刻也就是分针追上时针的时刻。分针与时针的速度差为每分钟1– 格。

　　20÷(1– )= 分

　　例2、 现在是下午1时，再过多少时间，时针与分针第一次成直线(反方向)?

　　时针与分针成直线时，两针两针之间差30格。1点钟时，分针还在时针的后面，这时两针不可能成直线。显然，分针必须在越过时针后，才能出现两针成直线的情况。也就是说，从1点起，分针必须比时针多走(5+30)=35格

　　(5+30)÷(1- )= 分

　　例3、 2点与3点之间，时钟的两针第一次成直角的时刻是几时几分?

　　两针成直角时，两针之间相差15格，2点时，分针落后时针10格，必须让分针赶上时针，并超过时针15格，才能成直角，也就是说，分针要比时针多走10+15=25格。

　　10+15÷(1- )= 分

　　例4、 时钟的时针和分针由第一次成反方向开始到第二次再成反方向为止，中间一共需要多少时间?

　　第一次成反方向时，分针落后(或超过)时针30格，到第二次再成反方向时，分针必须比时针多走30+30=60格

　　(30+30)÷(1- )=65 分=1时5分 秒

　　例5、 9时与10时之间，时针与分针正好成60度角，这时候的时间是多少?

　　60度即钟盘上10格。有两种情况：

　　1、 分针与时针重合以前成60度角。9时，两针相差45格。即分针要比时针多走45-10=35格

　　(45-10)÷(1- )= 分

　　2、 分针与时针重合以后成60度角。分针要比时针多走45+10=55格

　　(45+10)÷(1- )=60分

　　例6、 两针正好成60度角的时刻是5点40分，不需多少时间两针第一次重合?

　　解法一：可以考虑两针从现在时刻到第一次重合的路程差及速度差，直接求出所需时间。

　　1、 两针的路程差。

　　20+30- ×20= 格

　　2、 所需时间

　　÷(1- )= 分

　　综合算式

　　(20+30- ×20)÷(1- )= 分

　　解法二：

　　将问题转化为：先求出从6时正开始到第一次重合所需时间然后加上前面的20分钟。

　　1、 从6时至两针重合所需时间。

　　30÷(1- )= 分

　　2、 从5时40分至两针重合所需时间

　　20+ = 分

　　工程问题是一种典型的分数应用题。这类应用题的特点是：题中不给出工作量的具体数量，而用整体“1”来表示;工作效率以单位时间内完成工作总量的几分之几来表示，而后根据工作量、工作效率、和工作时间三者的关系来解答。

　　基本数量关系式是：

　　工作量÷工作效率=工作时间

　　在运用上面数量关系进行解答时，要注意工作量必须与完成这些工作量所需要的时间相对应。

　　例1、 甲乙两队合作某一项工程，12天可以完成;如果甲队工作2天，乙队工作3天，他们只能完成这项工程的20%。甲乙两队单独完成这项工程，各需多少天?

　　解法一：

　　把“甲队工作2天，乙队工作3天，只能完成这项工程的20%”转换成“甲乙两队合作2天，乙再工作1天”。

　　把这项工程看作单位“1”，甲乙合做1天可完成这项工程的 ，合做2天可完成这项工程的 ×2，从而求得乙的工作效率：

　　(20%- ×2)÷(3-2)=

　　乙单独完成这项工程的天数

　　1÷ =30天

　　甲队单独完成这项工程的天数

[Ok3w_NextPage]

　　1÷( - )=20天

　　解法二：

　　假定甲与乙一样工作3天，完成的工作量为 ×3= ，这时工作量必定超过20%，超过部分 +20%，就是甲队一天的工作量。

　　甲队单独完成这项工作所需时间

　　1÷( ×3-20%)=20天

　　乙队单独完成这项工作所需时间

　　1÷( - )=30天

　　例2、 甲乙丙三个车队运输一批货物。甲乙两个车队在6天内运完 ，以后由乙丙两个车队合运2天，完成了余下货物的 ，最后甲乙丙三个车队合运5天才运完。甲队、乙队、丙队单独运输这批货物，各需多少天?

　　要求甲乙丙三队单独运输，各需多少天，要设法求得甲乙丙三队的工作效率。

　　甲乙两队的工作效率为 ÷6= ;

　　乙丙两队的工作效率为(1- )× ÷2= ;

　　三队合做的工作效率为(1- )×(1- )÷5= 。

　　由此，可求得甲队、乙队、丙队的工作效率。

　　1、 甲乙两队的工作效率

　　÷6=

　　2、 乙丙两队的工作效率

　　(1- )× ÷2=

　　3、 三队合做的工作效率

　　(1- )×(1- )÷5=

　　4、 甲队单独运完这批货物所需天数

　　1÷( - )=60天

　　5、 乙队单独运完这批货物所需天数

　　1÷[ -( - )]= 天

　　6、 丙队单独运完这批货物所需天数

　　1÷( - )=

　　例3、 一项工程，原定100人，工作90天完成;工程进行15天后，由于采用先进工具和技术，平均每人工效提高了50%。完成这项工程可提前几天?

　　要求完成这项工程，可以提前几天，先要求出实际所用的天数;要求实际所用的天数，先要求出完成余下的工程所用的天数。全工程原定100人90天完成，那么，平均每人每天要完成全工程的 ;100人工作15天完成了全工程量的 ×100×15。余下全工程的(1- ×100×15)。采用先进技术后，每人工作效率是：[ ×(1+50%)]，进而求得余下的工程所用的天数。

　　1、 100人工作15天后，还余下全工程的几分之几?

　　1- ×100×15=

　　2、 改进技术后，100人1天可以完成这项工程的几分之几?

　　×(1+50%)×100=

　　3、 余下的工程要用多少天?

　　÷ =50天

　　4、 可提前多少天?

　　90-15-50=25天

　　综合算式：

　　90-15-(1- ×100×15)÷[ ×(1+50%)×100]=25天

　　例4、 有一水池，装有甲乙两个注水管，下面装有丙管排水。空池时，单开甲管5分钟可注满;单开乙管10分钟可注满。水池注满水后，单开丙管15分钟可将水放完。如果在空池时，将甲乙丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，还要几分钟可以注满水池?

　　分析与解：

　　先求出甲乙丙三管齐开2分钟后，注满了水池的几分之几，还余下几分之几。再求余下的要几分钟。

　　1、 三管齐开2分钟，注满了水池的几分之几?

　　( + - )×2=

　　2、 还余下几分之几?

　　1- =

　　3、 余下的还要几分钟?

　　÷( - )=4分钟

　　例5、 一队割麦工人要把两块麦地的麦割去。大的一块麦地比小的一块大一倍。全队成员先用半天时间割大的一块麦地，到下午，他们对半分开，一半仍留在大麦地上，到傍晚时正好把大麦地的麦割完;另一半到小麦地去割，到傍晚时还剩下一小块，这一小块第二天由1人去割，正好1天割完。这个割麦队共有多少人?

　　分析与解：

　　把大的一块麦地算作单位“1”，小的一块麦地为 。根据题意，一半成员半天割了 ，一天割了 ，全队成员一天可割 ×2= 。

　　1、 全队成员一天可割几分之几?

　　×2=

　　2、 所剩的一小块面积是几分之几?

　　-( -1)=

　　3、 全队有多少人?

　　(1+ - )÷ =8人

[Ok3w_NextPage]

　　例6、 一项工程，甲工程队每天工作8小时,3天可以完成;乙工程队每天工作9小时，8天可以完成。如果两工程队合作，每天工作6小时，几天可以完成?

　　分析与解：

　　要求两队合做，几天可以完成，先要求出甲工程队每小时可以完成全工程的几分之几，乙工程队每小时可以完成全工程的几分之几。

　　1、 甲工程队每小时可以完成全工程的几分之几?

　　1÷(8×3)=

　　2、 乙工程队每小时可以完成全工程的几分之几?

　　1÷(9×8)=

　　3、 两队合作几天可以完成

　　1÷( + )÷6=3天

　　综合算式：

　　1÷[1÷(8×3)+1÷(9×8)]÷6=3天

　　例7、 一件工作，3个男工和4个女工一天能完成 ;3个女工和4个男工一天能完成 。如果由1个女工独做，几天可以完成?

　　分析与解：

　　要求由1个女工独做，几天可以完成，先要求得1个女工的工作效率;要求1个女工的工作量，先要求1个男工和2个女工一天的工作量。

　　“3个男工和4个女工一天能完成 ”和“3个女工和4个男工一天能完成 ”把这句话合并成;“7个男工和7个女工一天能完成这件工作的 + 。”

　　1、 7个男工和7个女工一天的工作量。

　　+ =

　　2、 一个男工和一个女工一天的工作量。

　　÷7=

　　3、 一个女工一天的工作量

　　- ×3=

　　4、 一个女工独做需要多少天

　　1÷ =18天

　　例8、 一项工程，甲独做10天完成，乙独做12天可以完成，丙独做15天完成。现在三人合作甲中途因病休息了几天，结果6天完成任务。甲休息了几天?

　　如果甲没有休息，那么甲乙丙都工作了6天，完成了工程量的几分之几，超过了几分之几，然后求得甲休息了几天。

　　1、 三人合做6天，完成了工程量的几分之几?

　　( + + )×6=

　　2、 超额完成了工程的几分之几?

　　-1=

　　3、 甲休息了几天?

　　÷ =5天

　　牛顿问题也叫牛吃草问题。由于这个问题是由伟大的科学家牛顿提出来的，所以以后就把这类问题叫做牛顿问题。牛顿问题的特点是随着时间的增长所研究的量也等量地增加，解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和增加的量各是多少。

　　牧场上长满牧草，每天匀速生长。这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。供25头牛吃几天?

　　牧草的总量不定，它是随时间的增加而增加。但是不管它怎样增长，草的总量总是由牧场原有草量和每天长出的草量相加得来的。

　　10头牛20天吃的总草量比15头牛10天吃的草量多，多出部分相当于10天新长出的草量。

　　设法求出一天新长出的草量和原有草量。

　　1、10头牛20天吃的草可供多少牛吃一天?

　　10×20=200头、

　　2、15头牛10天吃的草可供多少 头牛吃一天

　　15×10=150头

　　3、(20–10)天新长出的 草可供多少头牛吃一天?

　　50÷10=5头

　　4、每天新长出的草可供多少头牛吃一天?

　　50÷10=5头

　　5、20天(或10天)新长出的草可供多少头牛吃一天?

　　5×20=100头 或5×10=50头

　　6、原有的草可供多少头牛吃一天?

　　200–100=100头 或150–50=100头

　　7、每天25头牛中，如果有5头牛去吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，可吃几天?

　　100÷(25–5)=5天

　　例2、有一水井，连续不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果用3 台抽水机抽水，36分钟可以抽完;如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完。现在12分钟要抽完井水，需要抽水机多少台?

　　随着时间的增长涌出的泉水也不断增多，但原来水量和每分钟涌出的水量不变。

　　1、 3台抽水机的抽水量。

　　3×36=108台分

[Ok3w_NextPage]

　　2、 5台抽水机的抽水量。

　　5×20=100台分

　　3、 使用3 台抽水机比用5台抽水机多用多少分钟?

　　36–20=16分

　　4、 使用3台抽水机比用5台抽水机少抽的水量。

　　108–100=8台分

　　5、 泉水每分钟涌出的水量，算出需要抽水机多少台?

　　8÷16= 台

　　6、 水井分钟涌出的水量。

　　×36=18台分

　　7、 水井原有的水量。

　　108–18=90台分

　　8、 水井原有水量加上12分钟涌出的水量。

　　×12=6台分

　　9、 水井原有水量加上12分钟涌出的水量。

　　90+6、12台分

　　10、 需要抽水机多少台?

　　96÷12=8台

　　例3、一片青草，每天生长速度相等。这片青草可共10头牛吃20天，或共60只羊吃10天。如果1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量，那么10头牛与60只羊一起吃，可以吃多少天?

　　先把题目进行转化。因为1头牛吃的草量等于4 只羊吃的草量。由此，题目可以转换成：这片青草可供(4×10)只羊吃20天，或供60只羊吃10天，问(4×10+60)只羊吃多少天?

　　1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天?

　　4×10×20=800只天

　　2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天?

　　60×10=600只天

　　3、(20–10)天新长出的草可供多少只羊吃一天?

　　800–600=200只

　　4、每天的新长出的草可供多少只羊吃一天?

　　200÷10=20只

　　5、 20天新长出的草可供多少只羊吃一天?

　　20×20=400只

　　6、 原有草可供多少只羊吃一天?

　　800–400=400只

　　7、 可吃多少天?

　　400÷(4×10+60–20)=5天

　　汉朝大将韩信善于用兵。据说韩信每当部队集合，他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7报数后，报告一下特各次的余数，便可知道出操公倍数和缺额。

　　这个问题及其解法，大世界数学史上颇负盛名，中外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。

　　这类问题的解题依据是：

　　1、 如果被除数增加(或减少)除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。例如：

　　20÷3=6……2

　　(20-3×5)÷3=21……2

　　(20+3×15)÷3=1……2

　　2、 如果被除数扩大(缩小)若干倍，除数不变，那么余数也扩大(缩小)同样的倍数。例如：

　　20÷9=2……2

　　(20×3)÷9=6……6

　　(20÷2)÷9=1……1

　　例1、 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小的数。

　　1、 求出能被5和7整除，而被3除余1的数，并把这个数乘以2。

　　70×2=140

　　2、 求出能被3和7整除，而被5除余1的数，并把这个数乘以3。

　　21×3=63

　　3、 求出能被5和3整除，而被7除余1的数，并把这个数乘以2。

　　15×2=30

　　4、 求得上面三个数的和

　　140+63+30=233

　　5、 求3、57的最小公倍数

　　[3、5、7]=105

　　6、 如果和大于最小公倍数，要从和里减去最小公倍数的若干倍

　　233–105×2=23

　　例2、 一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。

　　解法一：

　　70×2+21×2+15×4=242

　　[3、5、7]=105

　　242–105×2=32

　　解法二、

　　35+21×2+15×4=137

　　[3、5、7]=105

　　137–105=32

　　例3、 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。

　　1、 因为[6、7]=42，而42÷5余2，根据第二个依据，42×4÷5应余8(2×4)，实际余3，所以取42×4=168

[Ok3w_NextPage]

　　2、 因为[7、5]=35，而35÷6余5，则取35×2=70

　　3、 [5、6]=30,30÷7余2，则取30×4=120

　　4、 [5、6、7、]=210

　　5、 168+70+120–210=148

　　例4、 我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队，末行一人;列成六行纵队末行五人;列成七行纵队，末行四人;列成十一行纵队，末行十人。求兵数。

　　1、[6、7、11]=462

　　462÷5余2

　　462×3÷5余1

　　取462×3=1386

　　2、[7、11、5]=385

　　385÷6余5

　　385×5÷6余5

　　取385×5=1925

　　3、[11、5、6]=330

　　330÷7余1

　　220×4÷7余4

　　取330×4=1320

　　4、[5、6、7]=210

　　210÷11余1

　　210×10÷11余10

　　取210×10=2100

　　5、求四个数的和

　　1386+1925+1320+2100=6731

　　6、[5、6、7、11]=2310

　　7、6731–2310×2=2111